Matematica di base Esempi

$\frac{2 a}{a^{2} - 1} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Passaggio 1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 a}{a^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = a$ e $b = 1$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}}$

Passaggio 3

Per scrivere $\frac{1}{a^{2 + a}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} \cdot \frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)}$ per $\frac{a^{2 + a}}{a^{2 + a}}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{1}{a^{2 + a}} \cdot \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{a^{2 + a}}$ per $\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(a + 1) (a - 1) a^{2 + a}$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori di $a^{2 + a} ((a + 1) (a - 1))$ .

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a}}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)} + \frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 a \cdot a^{2 + a} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $a$ per $a^{2 + a}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1.1

Sposta $a^{2 + a}$ .

$\frac{2 (a^{2 + a} a) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $a^{2 + a}$ per $a$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (a^{2 + a} a^{1}) + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 a^{2 + a + 1} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + (a + 1) (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.2

Espandi $(a + 1) (a - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 a^{a + 3} + a (a - 1) + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 (a - 1)}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 a^{a + 3} + a \cdot a + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + a \cdot - 1 + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1 \cdot a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.3.1.3

Riscrivi $- 1 a$ come $- a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + 1 a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.3.1.4

Moltiplica $a$ per $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a + 1 \cdot - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - a + a - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.3.2

Somma $- a$ e $a$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} + 0 - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.3.3

Somma $a^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 a^{a + 3} + a^{2} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 6.4

Riordina i termini.

$\frac{a^{2} + 2 a^{a + 3} - 1}{a^{2 + a} (a + 1) (a - 1)}$